柔性臂因其质量轻、结构设计紧凑等优点被广泛应用在航天器、柔性机器人等领域，但是，其末端在运行过程中易产生抖动，严重影响其工作效率和定位精度，甚至危害整个系统的安全。国内外研究人员针对柔性臂的振动抑制问题，提出了PID控制、模糊控制、自适应控制、滑模变结构控制、最优控制等控制方法，对柔性臂振动抑制的反馈控制方法进行了探讨。输入整形技术由Singer和Seering首次提出，被广泛应用于柔性结构的振动抑制，该方法属于前馈控制方法，也是一种独特的振动抑制方法。Youmin等将输入整形技术应用于桥式起重机，抑制抖动的同时也提高了起重机的运输效率；Alsaibie等应用输入整形抑制了液体在运输过程中的晃动；Dhanda等对输入整形器进行改进，设计最优输入整形器有效抑制了起重机的残留振动；Pradhan等将输入整形与自适应控制结合来控制摆动负载的左右晃动。但是输入整形技术在抑制柔性系统振动的同时会导致系统响应时间延迟，严重降低系统的工作效率。

   本文针对输入整形技术引起的响应时间延迟问题，基于最优控制理论设计最优输入整形器以减小系统的响应时间，并将最优输入整形器与模糊PID控制器结合进行柔性臂的振动抑制。

柔性臂动力学模型

   绕伺服电机转轴旋转运动的柔性臂机械结构和物理模型如图1所示。

   图1(a)中，伺服电机转轴与转盘连接，柔性臂的一端通过转盘夹头连接在电机转轴上，质量块附于另一端，基座用于固定整个实验平台。图1(b)中，设以电机转轴中心O为原点建立惯性系XOY和体坐标系xOy，柔性臂的弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，密度为，截面面积为A，长度为l，末端质量块质量为ml，伺服电机转轴、转盘的转动惯量之和为J0，柔性臂运动所对应刚体转角为θ(t)，转轴输入控制力矩为u(t)。

   假设柔性臂横向振动远大于轴向振动且横向振动较小，根据振动力学原理，柔性臂可视为Euler-Bernoulli梁。设P(X,Y)为时刻t的柔性臂上任意一点的坐标，w(x,t)为P点在坐标系xOy下的横向弹性振动位移，根据Euler-Bernoulli梁的振动理论，均匀材料等截面柔性臂的弯曲自由振动微分方程为

柔性臂振动抑制的新型控制策略

   改进的前馈控制器结合反馈控制器构成一种新型控制策略对柔性臂振动进行抑制，柔性臂伺服系统的控制框图如图2所示。

   根据设计的最优输入整形器与控制指令卷积运算，输出结果作为伺服闭环控制系统的输入，经过模糊PID控制器传递给伺服驱动器来驱动伺服电机，编码器将位置和速度信号反馈到控制器和驱动器，整个伺服驱动控制系统完成柔性臂水平面内的旋转运动。控制系统中，模糊PID控制器和最优输入整形器分别实现了柔性臂伺服系统的闭环控制和前馈控制。

1.最优输入整形器设计

   输入整形技术是将一系列脉冲序列与期望输入进行卷积运算，所生成的控制指令作为运动控制系统的输入。其中，根据系统的振动频率和阻尼比所设计的脉冲序列称为输入整形器(InputShaper，IS)，其整形过程如图3所示。为研究输入整形技术，考虑典型的二阶系统传递函数

   设计输入整形器关键在于确定脉冲序列的幅值和作用时刻，以柔性臂系统的动力学模型建立二次型目标函数，基于最优理论设计出最优输入整形器，使目标函数最小。经计算，求得使柔性臂系统振动最小的最优输入整形器[13-14]（OptimalInput

   假定可容许的柔性臂残留振动幅值Vexp=5%，对残留振动表达式(12)进行灵敏度曲线分析，典型输入整形器的脉冲作用时刻T1为柔性臂系统振动周期的1/2时达到零振动，而最优输入整形器的脉冲作用时刻T1可以适当小的进行选择。

2.模糊PID控制器设计

   针对第1部分建立的柔性臂动力学模型，引入自适应模糊PID控制器。自适应模糊PID控制器的原理如图4所示。

   其实现思想是：首先找出PID三个参数与角度偏差e和偏差变化率ec之间的模糊关系，在运行中通过不断检测e和ec，再根据预先设计好的模糊规则库，进行模糊推理运算，对PID参数的修正量（Δkp、Δki和Δkd）进行在线调整，以满足不同时刻偏差和偏差变化对PID参数的整定要求，从而使柔性臂伺服控制系统具有良好的动态和静态性能，最终得到PID控制器的3个参数，其中，K’p，K’i和K’d为预整定值。Kp=K’p+Δkp，Ki=K’i+Δki，Kd=K’d+Δkd。

   根据系统的输出特性，针对不同的误差e和误差变化率ec，自整定PID控制参数设计原则如下：

   （1）当误差的绝对值|e|较大时，为了加快系统的响应速度，Kp应取较大，同时为了避免由于开始时|e|的瞬间变大可能出现微分过饱和而使控制作用超出了许可范围，应取较小的Kd，同时为了防止系统响应出现较大的超调，通常取Ki=0；

   （2）当误差的绝对值|e|和误差变化率的绝对值|ec|处于中等大小时，为使系统响应具有较小的超调，Kp应取的小一些，Ki取值要适当，这种情况Kd的取值对系统影响较大，取值要大小适中，以保证系统的响应速度；

   （3）当误差的绝对值|e|较小即接近于设定值时，为使系统具有良好的稳态性能，应增大Kp和Ki的取值，同时为避免在设定值附近出现振荡，并考虑系统的抗干扰性能，Kd的取值很重要，一般当|ec|较小时，Kd可取得大一些，当|ec|较大时，Kd应取得小一些。

   根据前人的经验，分析PID三个控制参数与e、ec之间的模糊关系，建立针对PID控制参数Kp、Ki、Kd的模糊规则分别如表1~表3所示。

   本控制系统的误差为伺服电机转角误差，角度误差和角度误差变化率经三角形隶属度函数进行模糊化处理，根据设定的模糊规则表，采用最大最小模糊推理，得到模糊输出量，最后运用加权平均法解模糊化，得到在输出论域范围内的精确输出量，实现模糊PID控制器参数自整定。

仿真分析与实验研究

   本文研究的柔性臂结构参数为：密度为7800kg/m3，弹性模量E为210Gpa，长度l为0.22m，截面高度h为0.001，截面宽度b为0.008m，质量块质量ml为0.037kg。对柔性臂的振动模态进行分析，在运动过程中，柔性臂的前一阶模态占主导地位。取前一阶模态即N=1，根据动力学状态空间方程表达式(10)及相应的代数式可计算出转矩输入为u，末端角度输出为y的旋转柔性臂动力学方程

   为验证本文提出的新型控制策略有效性，构建了柔性臂伺服控制系统的MATLAB仿真模型，设计了如表4的3种控制方案进行对比研究。

   柔性臂在水平面内进行90°旋转点位运动，通过式(6)得到一阶模态下的频率为1.5764Hz，选取最优输入整形器的时滞T1=0.058s，代入式(18)得最优输入整形器的脉冲幅值和时滞

   为比较最优输入整形器与典型输入整形器对柔性臂振动抑制效果，根据式(15)设计典型输入整形器的脉冲幅值和时滞

   未加输入整形器时，系统给定指令从零时刻开始，加入输入整形器后，输入指令作用时间会延迟，且最优输入整形器的时滞小于典型输入整形器的时滞，柔性臂的控制输入指令如图5所示。

   未加输入整形器时，系统末端振动需要一段时间才能停止，且角位移大，加入输入整形器后，残留振动很快得到抑制，与典型输入整形器相比较，最优输入整形器缩短了系统的响应延迟时间，柔性臂的角位移跟踪响应如图6所示。

   未加输入整形器时，柔性臂末端弹性振动经过4s左右才消失，最优输入整形器的加入使系统在2s内抑制末端残留振动，且振幅小于10mm，柔性臂末端弹性振动位移如图7所示。

   与采用模糊PID控制器相比，结合最优输入整形器和模糊PID控制器的柔性臂控制系统的末端弹性振幅减少了46%。与采用典型输入整形器相比，基于最优输入整形器的柔性臂末端弹性振动速度在1s内趋近于零，且响应时间缩短66.7%，柔性臂末端弹性振动速度的快慢响应如图8所示。

   仿真结果表明，与自适应模糊PID控制器的柔性臂振动抑制系统相比，输入整形器的引入抑制了柔性臂的振动，且最优输入整形器缩短了典型整形器带来的延迟时间。

   柔性臂振动抑制的实验平台硬件部分包括PC机、固高GT400-SV运动控制卡、柔性臂、伺服电机、伺服驱动器、示波器以及带激光头的高速测振仪Polytec-OFV5000；软件设计部分是在VC++6.0环境下对柔性臂的运动轨迹进行规划，如图9所示。

   柔性臂在水平面上进行90°的旋转点位运动，用激光测振仪测量柔性臂末端的振动情况，输出量在示波器上显示，输出单位为200μm/v，对如表4的3种控制方案进行实验研究，测量结果如图10-12所示。

   从图10-12所示的实验结果可知，设定末端振动位移0.12mm为最终稳定标定幅值。由于激光测振仪对大幅度的位移无法检测，所以图10所示的前部分柔性臂振动位移为限幅值4mm，基于模糊PID控制的柔性臂末端振动位移到达标定值的时间为5.25s；图11表示基于模糊PID和典型输入整形器的末端振动状况，经过1.78s后末端位移达到0.12mm；图12中表示加入最优输入整形器后柔性臂末端振动位移量，其到达标定幅值的时间为0.26s。

结论

   针对柔性臂末端振动抑制存在响应时间延迟的问题，采用模糊PID控制器作为反馈控制器建立了柔性臂的角度控制器，并将设计的最优输入整形器作为前馈控制器，前馈控制结合反馈控制构建了柔性臂的振动抑制系统。研究结果表明，最优输入整形器与模糊PID控制器相结合的新型控制策略能更好地抑制柔性臂末端的振动，减少系统的时间延迟，加快系统响应速度。